Распространение неопределенностей для интерполяционной зависимости Каллендара-Ван Дюзена (рабочие ТС)
Индивидуальная функция интерполяции для рабочего термометра сопротивления может быть записана аналогично функции МТШ-90, но учитывая пониженные требования к точности, чаще всего используют упрощенную функцию – квадратичный полином Каллендара – Ван Дюзена (КВД), имеющий следующий вид в диапазоне температур выше 0 °С:
R(t)=R0( 1+A t +B t2)
где R(t) – ТС при температуре t , R0 –сопротивление ТС при 0 °С, А, В – коэффициенты, определенные в результате градуировки в калибровочных точках.
Рассмотрим классическое уравнение распространения (или, как иногда говорят, транспонирования) неопределенностей на интервал.
где f (xi) – интерполяционная функция,
uxi– неопределенности аргументов функции,
ρi,j– коэффициент корреляции аргументов.
В нашем случае функция f (xi) представляет собой функцию Каллендара R(t) = R0(1+At+Bt2). Коэффициенты R0,A, B данной функции вычисляются исходя из измеренных в трех точках градуировки t1, t2, t3сопротивлений R1, R2, R3. Не представляет труда получить аналитическое выражение для R(t, t1, t2, t3, R1, R2, R3). Для упрощения расчетов можно расширенную неопределенность, рассчитанную в каждой реперной точке, перевести в эквивалент сопротивления, оставляя фиксированными значения температур.
Таким образом, аргументы xi функции f (xi), по которым производится дифференцирование в (1) представляют собой R1, R2, R3, а суммарные стандартные неопределенности uxi это суммарные стандартные неопределенности измерения u1, u2, u3 в точках градуировки. Коэффициенты корреляции ρi,j должны отражать взаимозависимость между результатами измерений R1, R2, R3, которая основана на том факте, что используется одна и та же измерительная аппаратура и образцовый термометр. Вычислить точное значение коэффициента корреляции довольно сложно, но, учитывая аддитивный характер суммарной неопределенности, можно разделить неопределенности некоррелированные и коррелированные полностью (коэффициент ρi,j равен 1), отдельно рассчитать их вклад в u2c(t), затем сложить. Для некоррелированных неопределенностей второй член формулы исчезает.
Оценим расхождение между функциями распространения стандартных неопределенностей на интервал температур, рассчитанными с учетом корреляции неопределенностей в точках градуировки и без учета корреляции.
Первый вариант расчета uc(t) – без учета корреляции.
Формула выглядит следующим образом:
где символом R обозначена функция R(t, t1, t2, t3, R1, R2, R3), u1, u2, u3 - неопределенности измерения сопротивлений в точках градуировки.
Второй вариант расчета uc(t) – с учетом корреляции.
Формула состоит из двух частей: первая часть, записанная для некоррелированных стандартных неопределенностей, аналогична формуле (2), вторая часть включает дополнительный член, учитывающий корреляцию сопротивлений.
где uн1, uн2, uн3 – суммарные некоррелированные стандартные неопределенности измерения сопротивлений в точках градуировки; uк1, uк2, uк3– суммарные коррелированные стандартные неопределенности.
Функция uс(t)была рассчитана по формулам (2) и (3) и графически представлена на рис. 1.
РИС. 1 Неопределенность измерения температуры в интервале. (коррелированные части неопределенности намного превосходят некоррелированные части)
Из рисунка можно сделать однозначный вывод о сильном влиянии корреляции неопределенностей поверки термометра в точках градуировки на неопределенность измерений температуры в интервале между точками.
С другой стороны, данный график подтверждает возможность применения простой линейной интерполяции для определения распространения неопределенности на интервал температур, что также является важным и находит применение на практике. Однако, линейная модель близка к реальности только при сильной корреляции измеренных сопротивлений, если суммарные коррелированные неопределенности на много превышают суммарные некоррелированные неопределенности. Если коррелированные и некоррелированные части равны, то сглаживания кривой не происходит, что можно видеть на рис. 2, на котором представлена теоретическая модель, в которой uн1, uн2, uн3, uк1, uк2, uк3 – равны между собой и равны 0,01 Ом.
РИС. 2 Неопределенность измерения температуры в интервале. (коррелированные и некоррелированные части неопределенности равны)
Однако, говоря о точности интерполяции, необходимо учитывать, что формула Каллендара – Ван Дьюзена используется только для рабочих термометров и то, что сама зависимость имеет неустранимую ошибку, связанную с использованием полинома второй степени (см. раздел СПРАВОЧНИК).
Приведенный выше метод расчета может быть использован для также для оценки влияния количества точек градуировки на неопределенность в интервале.
Более подробно метод расчета неопределенности измерений в интервале температур и влияние корреляции между измерениями в градуировочных точках на результат расчета рассмотрен в статье Моисеевой Н.П. «Неопределенность измерения температуры и разности температур с учетом корреляции» (Измерительная техника №11, 2010 г.)